冒个泡——大家来算积分~

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September 16

冒个泡——大家来算积分~

用这种方式冒泡可能确实比较发指~，但刚才看到的一个积分确实把我雷到了：

待积的形式是 3xdx/(根号下x^4+2x),

TeXically, \int\dfrac{3xdx}{\sqrt{x^4+2x}}.

[Bonus problem: \int\dfrac{6xdx}{\sqrt{x^4+4x^3-6x^2+4x+1}}]
(注意根号里面有一个减号，所以不是完全平方~)

其实我一直认为积分是很初等的内容……

我要说的是, 原函数是存在而且初等的——刚才我惊讶之余还验算了一下……对我看到的不定积分求导……

我没有验算的是这个form的differential Galois group, 有兴趣的人可以做一做~

第一个求出Bonus原函数来的有奖。能解释一下为什么的就更赞了~。

10:56:12 AM | Blog it

Comments (17)

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	Xin shenwrote: 設y=分母，于是y^2=x^4+...，兩邊除以x^2，然后根據x和1/x的對稱性，變成k^2=L^2-12,其中k=y/x,L=x+1/x+2,之后可以對此進行有理化：k=(t^2-12)/2t, L=(t^2+12)/2t, 但x+1/x+2=(t^2+12)/2t這里卻沒有辦法。按理說y^2=x^4+...是個torus,單參數化似乎不可能，但另一方面積分本身是R上的，要參數化似乎就只能單參數。這點我比較confused。 Sept. 18
	hyh1048576 Huangwrote: 什么东西卡住了? Sept. 18
	Xin shenwrote: 做到x+1/x+2=(t^2+12)/2t卡住了 Sept. 17
	qingwrote: 为什么数学系的同学们看到积分就像过年似的~ Sept. 17
	hyh1048576 Huangwrote: To hh: 貌似这是所谓的“伪椭圆积分”…… Sept. 17
	hyh1048576 Huangwrote: 哦，根号2可以放到+C里面去…… Integrator做\int\dfrac{3xdx}{\sqrt{x^4-2x}}得到的结果居然和\int\dfrac{3xdx}{\sqrt{x^4+2x}}显得很不一样…… Sept. 17
	Hao Huangwrote: sorry.... 看少了分母上的一个sqrt，我在想你怎么会出这么弱智的题…… 难道是椭圆积分一类的东西？有空想想 Sept. 17
	洪宾wrote: In fact, I did not use your "ti shi"... Where is the \sqrt{2}? I can't find it... Sept. 17
	hyh1048576 Huangwrote: To jasonsun again: 你似乎miss了一个根号2...... Sept. 17
	hyh1048576 Huangwrote: To hh: 不涉及三角函数的哦~ to Jasonsun: 我就是很快反应过来第一个不难才出了Bonus problem的…… 不过你丫居然在msn上得到了哥的“提示”才做出来，真fz...... 提示一下剩下的：Google “integrator” 可以帮你做第一题，第二题嘛，去Arxiv里面找吧~ 额外提示：这个积分可是Abel 阿大人整出来的哦~ Sept. 17
	Jiewrote: 正在烦躁之时看见你的作品。。。突然觉得飘忽了。。。 Sept. 16
	aiqunwrote: 老天，为什么你写汉语我也看不懂呢？ Sept. 16
	Hao Huangwrote: For your bonus problem, isn't that the result is quite ugly? can you avoid using arctan (arcsin etc also counts) and log? I only know I can integrate \dfrac{1}{x^2+(2-2\sqrt{3})x+1}-\dfrac{1}{x^2+(2+2\sqrt{3})x+1} The first one will result in arctan, second one log sth..... Sept. 16
	洪宾wrote: 第一个是2ln(x^\frac{3}{2}+(x^3+2)^\frac{1}{2})+C bonus还不知道... Sept. 16
	hyh1048576 Huangwrote: o......看来kk不欢乐了…… >_< Sept. 16
	KKwrote: orz, 你应该回归之前欢乐的风格... Sept. 16
	hyh1048576 Huangwrote: 当然，似乎换元也是可以做的……anyway~ Sept. 16

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